Abenteuer Mathe – Exponentialfunktion verstehen

27.10.2020 Beat Ambord

Mit einem Reiskorn und einem Schachbrett zum Reichtum

Klingt verlockend und könnte mit der richtigen mathematischen Formel auch annähernd funktionieren. Exponentielles Wachstum bezeichnet ein mathematisches Modell für Wachstum, bei dem sich eine Grösse in festen Zeiten immer wieder um einen bestimmten Faktor vervielfacht. Was hier erst einmal sehr theoretisch und schwierig klingt, funktioniert in der Biologie genauso wie in der Wirtschaft, in der Finanzwelt, in naturwissenschaftlichen Bereichen oder eben in der Mathematik.

 

Wie ist das nun mit dem Reiskorn und dem Reichtum

Einer Legende nach hat ein Erfinder für den indischen Herrsche Shihram das Schachspiel erfunden. Dafür hatte der Erfinder einen Wunsch frei. Sissa ibn Dahir (der Erfinder) wünschte sich Folgendes: Auf das erste Feld des Schachbretts ein Reiskorn, auf das zweite das Doppelte, also 2, auf das dritte Feld wiederum das Doppelte also 4 und so weiter. Der Herrscher Shihram lachte und gewährte den Wunsch. Am Ende der 64 Felder sollte ihm jedoch das Lachen vergehen. Seine Mathematiker rechneten aus, dass auf dem letzten Feld mehr als 9 Trillionen Reiskörner liegen müssten. Die Reiskörner auf allen Feldern des Schachbrettes zusammen würden dann mehr als 18 Trillionen sein. Am Ende steht eine Masse von ungefähr 540 Milliarden Tonnen Reis, was etwa der Menge Reis entspricht, die in über 870 Jahren weltweit erzeugt wird.

 

Exponentielles Wachstum in der Natur

Auch das Zellwachstum lässt sich mit dem exponentiellen Wachstum vergleichen. So entsteht aus einer einzigen Eizelle nach der Befruchtung durch die Samenzelle ein zweizelliges Gebilde, bei dem sich anschliessend jede Zelle immer wieder teilt. Also 1 Zelle, 2 Zellen, 4 Zellen, 8 Zellen und so weiter. Beendet wird dieser Prozess in der exponentiellen Wachstumskurve erst dann, wenn das biologische Modell sein genetisches Wachstumsziel erreicht hat.

Sonderfall: Exponentieller Zerfall

Die praktisch umgekehrte Variante des exponentiellen Wachstums ist der exponentielle Zerfall. Bekannt ist diese Erscheinung beispielsweise aus der Radioaktivität und wird dort unter dem Begriff Halbwertszeit veranschaulicht. Dabei wird beschrieben, wie sich die Radioaktivität durch den Zerfall der Radionuklide praktisch immer wieder halbiert, bis das Mass an Radioaktivität praktisch gegen Null geht, wobei absolut Null niemals erreicht werden kann. Die Halbwertszeit ist dann der Zeitraum, in der sich die Radioaktivität jeweils halbiert.

Mathematik kann durchaus spannend sein, wie sich am Beispiel des exponentiellen Wachstums zeigen lässt. 

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Was haben Reiskörner, Schachbrett oder Zellwachstum mit Mathematik zu tun? Jede Menge, wenn man exponentielles Wachstum versteht.